NÚMEROS ÁUREOS

NÚMEROS ÁUREOS

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:

• La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito como ecuación algebraica:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

Siendo el valor del número áureo φ el cociente: ${\displaystyle \phi =a/b}$ Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.

Cálculo del valor del número áureo

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

Si ${\displaystyle \varphi =a/b}$ entonces la ecuación queda:

${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}=\varphi ,\qquad \Rightarrow \varphi +1=\varphi ^{2},\qquad \Rightarrow \varphi ^{2}-\varphi -1=0}$

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{\textrm {.}}6180339887498948482045868343656381177203\ldots }$

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación ${\displaystyle a/b}$.